【题目】已知a为常数,函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点x1 , x2(x1<x2)( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解:∵f′(x)=lnx+1﹣2ax,(x>0)
令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1 , x2函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0. .
①当a≤0时,g′(x)>0,f′(x)单调递增,因此g(x)=f′(x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去.
②当a>0时,令g′(x)=0,解得x= ,
∵x ,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;
时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
∴x= 是函数g(x)的极大值点,则
>0,即
>0,
∴ln(2a)<0,∴0<2a<1,即 .
故当0<a< 时,g(x)=0有两个根x1 , x2 , 且x1<
<x2 , 又g(1)=1﹣2a>0,
∴x1<1< <x2 , 从而可知函数f(x)在区间(0,x1)上递减,在区间(x1 , x2)上递增,在区间(x2 , +∞)上递减.
∴f(x1)<f(1)=﹣a<0,f(x2)>f(1)=﹣a>﹣ .
故选:D.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值和函数的极值与导数的相关知识点,需要掌握极值反映的是函数在某一点附近的大小情况;求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值才能正确解答此题.
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【题目】对于数列,
,
,
,若满足
,则称数列
为“
数列”.
若存在一个正整数,若数列
中存在连续的
项和该数列中另一个连续的
项恰好按次序对应相等,则称数列
是“
阶可重复数列”,
例如数列因为
,
,
,
与
,
,
,
按次序对应相等,所以数列
是“
阶可重复数列”.
(I)分别判断下列数列,
,
,
,
,
,
,
,
,
.是否是“
阶可重复数列”?如果是,请写出重复的这
项;
(II)若项数为的数列
一定是 “
阶可重复数列”,则
的最小值是多少?说明理由;
(III)假设数列不是“
阶可重复数列”,若在其最后一项
后再添加一项
或
,均可 使新数列是“
阶可重复数列”,且
,求数列
的最后一项
的值.
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【题目】已知函数f(x)=x(x+a)﹣lnx,其中a为常数.
(1)当a=﹣1时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)是区间 内的单调函数,求实数a的取值范围.
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【题目】为了调查喜爱运动是否和性别有关,我们随机抽取了50名对象进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表:
喜爱运动 | 不喜爱运动 | 合计 | |
男性 | 5 | ||
女性 | 10 | ||
合计 | 50 |
若在全部50人中随机抽取2人,抽到喜爱运动和不喜爱运动的男性各一人的概率为 .
附:
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2=
(1)请将上面的2×2列联表补充完整;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱运动与性别有关?说明你的理由..
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【题目】已知面积为S的凸四边形中,四条边长分别记为a1 , a2 , a3 , a4 , 点P为四边形内任意一点,且点P到四边的距离分别记为h1 , h2 , h3 , h4 , 若 =
=
=
=k,则h1+2h2+3h3+4h4=
类比以上性质,体积为y的三棱锥的每个面的面积分别记为Sl , S2 , S3 , S4 , 此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1 , H2 , H3 , H4 , 若
=
=
=
=K,则H1+2H2+3H3+4H4=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式;
(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本)
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