Question

3．若直线ax+y-a+1=0（a∈R）与圆x²+y²=4交于A、B两点（其中O为坐标原点），则$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$的最小值为4．

Answer 1

分析 易得直线恒过定点C（1，-1），圆x²+y²=4圆心为（0，0）半径为2，$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=4-2×2×cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞，可得当AB⊥OC时，式子取最小值，数形结合联立方程组解点的坐标可得．

解答 解：直线ax+y-a+1=0可化为y+1=-a（x-1），
恒过定点C（1，-1），圆x²+y²=4圆心为（0，0）半径为2，
∴$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）=${\overrightarrow{OA}}^{2}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$
=4-2×2×cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞，
当AB⊥OC时，＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞最小，cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞取最大值，
此时$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=4-4cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞取最小值，
此时OC的斜率为-1，由垂直关系可得-a=1，解得a=-1，
故此时直线方程为y+1=x-1，即y=x-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$可解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞取最小值$\frac{π}{2}$，cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞取最大值0，
此时$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=4-4cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞取最小值4，
故答案为：4

点评 本题考查直线和圆相交的性质，涉及向量的数量积的最值和三角函数，属中档题．