试题分析:(1)由于直线l:x=﹣2交x轴于点A,所以A(﹣2,0),由于P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP,可以设点P,由于满足∠MPO=∠AOP,所以分析出MN∥AO,利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程;
(2)由题意及点M的轨迹E的方程为y
2=4(x+1),且已知T(1,﹣1),又H是E 上动点,点O及点T都为定点,利用图形即可求出;
(3)由题意设出过定点的直线方程l
1并与点M的轨迹E的方程联立,利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0,即可得到所求.
解:(1)如图所示,连接OM,则|PM|=|OM|∵∠MPO=∠AOP,∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上,设M(x,y) ①当MP⊥l时,|MP|=|x+2|,|om|=
,|x+2|=
,化简得y
2=4x+4 (x≥﹣1)②当M在x的负半轴上时,y=0(x<﹣1)综上所述,点M的轨迹E的方程为y
2=4x+4 (x≥﹣1)或y=0(x<﹣1)
(2)由题意画出图形如下:
∵由(1)知道动点M 的轨迹方程为:y
2=4(x+1).
是以(﹣1,0)为顶点,以O(0,0)为焦点,以x=﹣2为准线的抛物线,
由H引直线HB垂直准线x=﹣2与B点,则
利用抛物线的定义可以得到:|HB|=|HO|,
∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值,
由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值,
故|HO|+|HT|的最小值时的H
.
(3)如图,设抛物线顶点A(﹣1,0),则直线AT的斜率
∵点T(1,﹣1)在抛物线内部,∴过点T且不平行于x,y轴的直线l
1必与抛物线有两个交点则直线l
1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论:①当K
时,直线l
1与轨迹E有且只有两个不同的交点 ②当
时,直线l
1与轨迹E有且只有三个不同的交点 ③当K=0时,直线l
1与轨迹E有且只有一个交点 ④当K>0时,直线l
1与轨迹E有且只有两个不同的交点综上所述,直线l
1的斜率K的取值范围是
(﹣
]∪(0,+∞)
点评:此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程,还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想,还考查了直线与曲线有两个交点的等价转化思想.