精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(14分)(2011•广东)在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=﹣2交x轴于点A,设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP.
(1)当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)已知T(1,﹣1),设H是E上动点,求|HO|+|HT|的最小值,并给出此时点H的坐标;
(3)过点T(1,﹣1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线l1的斜率k的取值范围.
(1)y2=4x+4 (x≥﹣1)或y=0(x<﹣1)
(2)
(3)(﹣]∪(0,+∞)

试题分析:(1)由于直线l:x=﹣2交x轴于点A,所以A(﹣2,0),由于P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP,可以设点P,由于满足∠MPO=∠AOP,所以分析出MN∥AO,利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程;
(2)由题意及点M的轨迹E的方程为y2=4(x+1),且已知T(1,﹣1),又H是E 上动点,点O及点T都为定点,利用图形即可求出;
(3)由题意设出过定点的直线方程l1并与点M的轨迹E的方程联立,利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0,即可得到所求.
解:(1)如图所示,连接OM,则|PM|=|OM|∵∠MPO=∠AOP,∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上,设M(x,y) ①当MP⊥l时,|MP|=|x+2|,|om|=,|x+2|=,化简得y2=4x+4 (x≥﹣1)②当M在x的负半轴上时,y=0(x<﹣1)综上所述,点M的轨迹E的方程为y2=4x+4 (x≥﹣1)或y=0(x<﹣1)
(2)由题意画出图形如下:
∵由(1)知道动点M 的轨迹方程为:y2=4(x+1).
是以(﹣1,0)为顶点,以O(0,0)为焦点,以x=﹣2为准线的抛物线,
由H引直线HB垂直准线x=﹣2与B点,则
利用抛物线的定义可以得到:|HB|=|HO|,
∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值,
由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值,
故|HO|+|HT|的最小值时的H
(3)如图,设抛物线顶点A(﹣1,0),则直线AT的斜率∵点T(1,﹣1)在抛物线内部,∴过点T且不平行于x,y轴的直线l1必与抛物线有两个交点则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论:①当K时,直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点 ②当时,直线l1与轨迹E有且只有三个不同的交点 ③当K=0时,直线l1与轨迹E有且只有一个交点 ④当K>0时,直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点综上所述,直线l1的斜率K的取值范围是
(﹣]∪(0,+∞) 


点评:此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程,还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想,还考查了直线与曲线有两个交点的等价转化思想.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分14分)
已知抛物线的焦点为上异于原点的任意一点,过点的直线于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为时,为正三角形.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若直线,且有且只有一个公共点
(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;
(ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设抛物线的焦点为,经过点的直线与抛物线相交于两点且点恰为的中点,则          

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设点P是曲线y=x2上的一个动点,曲线y=x2在点P处的切线为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x2的另一交点为Q,则PQ的最小值为________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

[2014·江西模考]设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是(  )
A.y2=-8xB.y2=8x
C.y2=-4xD.y2=4x

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,是抛物线为上的一点,以S为圆心,r为半径()做圆,分别交x轴于A,B两点,连结并延长SA、SB,分别交抛物线于C、D两点。
(1)求证:直线CD的斜率为定值;
(2)延长DC交x轴负半轴于点E,若EC : ED =" 1" : 3,求的值。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知定点,过点F且与直线相切的动圆圆心为点M,记点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)若点A的坐标为,与曲线E相交于B,C两点,直线AB,AC分别交直线于点S,T.试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知直线交抛物线两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知直线:与抛物线:交于两点,与轴交于,若,则_______.[

查看答案和解析>>

同步练习册答案