Question

3．已知锐角α满足sin2α=$\frac{1}{4}$，则$\frac{1}{1+sinα}$+$\frac{1}{1+cosα}$=64-28$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα+cosα的值，可得sinαcosα的值，从而求得所给式子的值．

解答 解：∵锐角α满足sin2α=$\frac{1}{4}$=2sinαcosα，∴sinαcosα=$\frac{1}{8}$，
∴sinα+cosα=$\sqrt{{（sinα+cosα）}^{2}}$=$\sqrt{1+2•\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
则$\frac{1}{1+sinα}$+$\frac{1}{1+cosα}$=$\frac{2+cosα+sinα}{1+sinα+cosα+sinαcosα}$=$\frac{2+\frac{\sqrt{5}}{2}}{1+\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{1}{8}}$ 
=$\frac{16+4\sqrt{5}}{9+4\sqrt{5}}$=$\frac{（16+4\sqrt{5}）•（9-4\sqrt{5}）}{81-80}$=64-28$\sqrt{5}$，
故答案为：64-28$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．