Question

11．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），若g（x）=x²f（x），则不等式g（x）＜g（1-x）的解集是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• C． （-∞，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：f（-x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（-x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x²f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．

解答 解：∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，
∴f（-x）=f（x）．
对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），
∴xf′（x）+2f（x）＞0，
∵g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞0．
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）在（-∞，0）递减；
由不等式g（x）＜g（1-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{1-x＞0}\\{x＜1-x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{x-1＜0}\\{x＞x-1}\end{array}\right.$，
解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，或x＜0
∴不等式g（x）＜g（1-x）的解集为：{x|0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＜0}．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．