Question

19．所截容器的容积V（单位：cm³）是关于截取的边长x（单位：cm）的函数．
（1）随着x的变化，容积V是如何变化的？
（2）截取的小正方形的边长为多少时？容器的容积最大？最大容积是多少．

Answer 1

分析 （1）结合图形可写出V=x²•$\frac{6-x}{2}$=-$\frac{1}{2}$x³+3x²（0＜x＜6）；
（2）求导V′=-$\frac{3}{2}$x²+6x=-$\frac{3}{2}$x（x-4）；从而判断出当x=4时，V有最大值．

解答 解：（1）由题意知，
V=x²•$\frac{6-x}{2}$=-$\frac{1}{2}$x³+3x²（0＜x＜6）；
（2）∵V=-$\frac{1}{2}$x³+3x²（0＜x＜6）；
∴V′=-$\frac{3}{2}$x²+6x=-$\frac{3}{2}$x（x-4）；
∴当x=4时，V有最大值，
即截取的小正方形的边长为4cm时，
容器的容积最大，最大容积是16cm³．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．