Question

8．若m个不全相等的正数a₁，a₂，…a_m依次围成一个圆圈使每个a_k（1≤k≤m，k∈N）都是其左右相邻两个数平方的等比中项，则正整数m的最小值是6．

Answer 1

分析 由题意可得：${a}_{1}^{2}$=${a}_{2}^{2}$$•{a}_{m}^{2}$，1＜k＜m时，${a}_{k}^{2}$=${a}_{k-1}^{2}$•${a}_{k+1}^{2}$，a_i＞0（1≤i≤m）．可得：a₁=a₂a_m，a_k=a_k-1a_k+1．m=3，m=4，5，时，不符合题意，舍去．m=6时，取特殊例子即可得出．

解答 解：由题意可得：${a}_{1}^{2}$=${a}_{2}^{2}$$•{a}_{m}^{2}$，1＜k＜m时，${a}_{k}^{2}$=${a}_{k-1}^{2}$•${a}_{k+1}^{2}$，a_i＞0（1≤i≤m）．
∴a₁=a₂a_m，a_k=a_k-1a_k+1．
m=3时，a₁=a₂•a₃，a₂=a₁a₃，a₃=a₂a₁，可得：a₃=1=a₂=a₁，舍去．
同理可得：m=4，5，时，不符合题意，舍去．
m=6时满足题意，a₁=a₂a₆，a₂=a₁a₃，…，a₅=a₄a₆，a₆=a₅a₁，
取a₁=12，a₂=2，a₃=$\frac{1}{6}$，a₄=$\frac{1}{12}$，a₅=$\frac{1}{2}$，a₆=6即可满足条件．
故答案为：6．

点评 本题考查了数列的递推关系、取特殊值法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．