Question

设抛物线y²=4x的焦点为F，定点为O，M是抛物线上的动点，则

|MO|

|MF|

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设M到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

=

1+ 2m-1 m2+2m+1

，令2m-1=t，利用基本不等式求得最大值．

解答： 解：焦点F（1，0），设M（m，n），则n²=4m，m＞0，设M 到准线x=-1的距离等于d，
则

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

=

1+ 2m-1 m2+2m+1

．
令2m-1=t，t＞-1，则m=

1

2

（t+1），
∴

|MO|

|MF|

=

1+ 4 t+ 9 t +6

≤

1+ 1 3

=

2 3

3

（当且仅当t=3时，等号成立）．
故

|MO|

|MF|

的最大值为

2 3

3

．
故答案为：

2 3

3

．

点评：本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，

|MO|

|MF|

=

|MO|

d

=

1+ 2m-1 m2+2m+1

是解题的关键和难点，属于中档题．