Question

点A为两曲线C₁:+=1和C₂:x²-=1在第二象限的交点,B、C为曲线C₁的左、右焦点,线段BC上一点P满足:=+m(+),则实数m的值为　　　　.

Answer 1

法一　∵A是曲线C₁与C₂在第二象限的交点如图所示.

∴由
得点A坐标为(-,2).
由+=1知c²=9-6=3,
∴B(-,0),C(,0),
∴=(0,2),=(0,-2),=(2,-2).
=2,
=4.
∴+m（+）=(0,2)+m=(0,2)+m（,-）=（m,2-m）.
设点P(x,0),则=(x+,0),
由题意得
解得
法二　由椭圆与双曲线方程可知,C₁、C₂有共同的焦点,即B、C.
由椭圆和双曲线定义有
解得
又|BC|=2,
∴△ABC为直角三角形,且∠BAC=60°.
又由=+m(+)得
-==m(+)(*)
由向量的线性运算易知,AP为∠BAC的平分线,
故cos∠BAP=,
即cos 30°=,
∴=.
将(*)式的两边平方得:
||²=m²(1+1+2cos 60°)=（）²,
解得m=或m=-(舍去).