Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（A+C）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）=2sin2x+sin（2x-B）（x∈R）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理和和差角的三角函数公式可得cosB，可得角B；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），易得函数最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中bcosA=（2c+a）cos（A+C），
∴由正弦定理可得sinBcosA=（2sinC+sinA）（-cosB），
∴sinBcosA+cosBsinA=-2sinCcosB，
∴sin（A+B）=-2sinCcosB，即sinC=-2sinCcosB，
约掉sinC可得cosB=-$\frac{1}{2}$，B=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简可得f（x）=2sin2x+sin（2x-$\frac{2π}{3}$）
=2sin2x+sin2xcos$\frac{2π}{3}$-cos2xsin$\frac{2π}{3}$
=2sin2x-$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=$\frac{3}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴当2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$即x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z时，函数取最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及和差角的三角函数公式和三角函数的最值，属中档题．