Question

已知圆C的方程为x²＋(y－4)²＝4，点O是坐标原点．直线l：y＝kx与圆C交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)设Q(m，n)是线段MN上的点，且请将n表示为m的函数．

Answer 1

解析：(1)将y＝kx代入x²＋(y－4)²＝4得，

(1＋k²)x²－8kx＋12＝0，(*)

Δ＝(－8k)²－4(1＋k)²×12＞0得k²＞3 .

所以k的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．

(2)因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为(x₁，kx₁)，(x₂，kx₂)，则

|OM|²＝(1＋k²)x，|ON|²＝(1＋k²)x，又|OQ|²＝m²＋n²＝(1＋k²)m^2,

由

所以

由(*)知x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

所以m²＝，

因为点Q在直线l上，所以k＝，代入m²＝并化简可得5n²－3m²＝36,

由m²＝及k²＞3得0＜m²＜3，即m∈(－，0)∪(0，).

依题意，点Q在圆C内，则n＞0，所以n＝

所以，n与m的函数关系为n＝ (m∈(－，0)∪(0，))．