Question

8．已知f（x）=ax³+3x²-1存在唯一的零点x₀，且x₀＜0，则实数a的取值范围是（-∞，-2）．

Answer 1

分析 讨论a的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：（i）当a=0时，f（x）=-3x²+1，令f（x）=0，解得x=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，函数f（x）有两个零点，舍去．
（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax²+6x=3ax（x+$\frac{2}{a}$），令f′（x）=0，解得x=0或-$\frac{2}{a}$．
①当a＜0时，-$\frac{2}{a}$＞0，当x＞-$\frac{2}{a}$或x＜0，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当0＜x＜-$\frac{2}{a}$时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴故x=-$\frac{2}{a}$是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．

∵函数f（x）=ax³+3x²-1存在唯一的零点x₀，且x₀＜0，则f（-$\frac{2}{a}$）=-$\frac{8}{{a}^{2}}$+$\frac{12}{{a}^{2}}$-1=$\frac{4}{{a}^{2}}$-1＜0，
即a²＞4得a＞2（舍）或a＜-2．
②当a＞0时，-$\frac{2}{a}$＜0，当x＜-$\frac{2}{a}$或x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
当-$\frac{2}{a}$＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴x=-$\frac{2}{a}$是函数f（x）的极大值点，0是函数f（x）的极小值点．
∵f（0）=-1＜0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上存在一个零点，此时不满足条件．
综上可得：实数a的取值范围是（-∞，-2）．
故答案为：（-∞，-2）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．