Question

在△ABC中，A，B，C是三内角，当sinC（cosAcosB+sinAsinB）-

3

cos（A+B）取得最大值时，则A=（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  5π

  12

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：由题意根据三角函数中的恒等变换应用可得

cos2(A-B)+3

sin（A+B+φ）≤2sin（A+B+φ）≤2，从而解得A=B，由原式=2sin（2A-

π

3

）=2，结合角A的范围即可得解．

解答： 解：原式=sin（A+B）cos（A-B）-

3

cos（A+B），再根据辅助角公式，
=

cos2(A-B)+3

sin（A+B+φ）≤2sin（A+B+φ）≤2．
当且仅当cos（A-B）=1取得最大，所以A=B，
此时，原式=2sin（A+B-

π

3

）=2sin（2A-

π

3

）=2，
从而可得：2A-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，由A为三角形内角，
即可解得：A=

5π

12

．
故选：D．

点评：本题主要考查了辅助角公式，三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的最值，属于基本知识的考查．