Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（x₀，$\frac{5}{2}$）为双曲线上一点，若△PF₁F₂的内切圆半径为1且圆心G到原点O的距离为$\sqrt{5}$，则双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

Answer 1

分析 由题意，△PF₁F₂的内切圆的圆心的横坐标为a，若△PF₁F₂的内切圆半径为1且圆心G到原点O的距离为$\sqrt{5}$，求出a，利用双曲线的定义及面积公式，求出b，即可得出双曲线的方程．

解答 解：由题意，△PF₁F₂的内切圆的圆心的横坐标为a，
若△PF₁F₂的内切圆半径为1且圆心G到原点O的距离为$\sqrt{5}$，
则a²+1=5，∴a=2，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n（m＞n），则$\left\{\begin{array}{l}{m-n=4}\\{\frac{1}{2}×2c×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}（m+n+2c）}\end{array}\right.$，∴n=$\frac{3}{2}$c-2，
∵点P（x₀，$\frac{5}{2}$）为双曲线上一点，
∴$\frac{n}{{x}_{0}-\frac{4}{c}}$=$\frac{c}{2}$，∴n=$\frac{c}{2}{x}_{0}$-2，∴$\frac{c}{2}{x}_{0}$-2=$\frac{3}{2}$c-2，∴x₀=3，
∴$\frac{9}{4}-\frac{\frac{25}{4}}{{b}^{2}}$=1，∴b=$\sqrt{5}$，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故答案为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查三角形的内切圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．