Question

已知“函数、数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”，现有以下四个函数，
①y=

1-2x

x-4

 ②y=（x-2）|x-2|+

1

2

x ③y=-

8

2x+4

 ④y=log₂

2x

4-x

其中具有相同对称中心的两个函数的序号是（　　）

• A、①和③
• B、①和④
• C、②和③
• D、②和④

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数成中心对称的等价条件进行判断即可．

解答： 解：①若y=

1-2x

x-4

=

-2(x-4)-7

x-4

=-2-

7

x-4

，则y=f（x+4）-（-2）=-

1

x

为奇函数，则函数关于（4，-2）对称，故①满足条件．排除C，D．
 ④设g（x）=log₂

2x

4-x

的对称中心为点P（a，b），
则函数f（x）=g（x+a）-b=log₂

2(x+a)

4-(x+a)

-b是奇函数，
由函数的定义域，即不等式

2(x+a)

4-(x+a)

＞0的解集关于原点对称，可得a=2，
此时f（x）=log₂

2(x+2)

2-x

-b，x∈（-2，2）
由f（-x）+f（x）=log₂

2(-x+2)

2+x

+log₂

2(x+2)

2-x

-2b=2-2b=0得：b=1
故函数g（x）=log₂

2x

2-x

的对称中心为点（2，1），
故④满足条件，
故选：B．

点评：本题主要考查函数对称性的判断，根据条件利用平移关系证明函数是奇偶性是解决本题的关键．