Question

设集合A为函数y=ln（-x²-2x+8）的定义域，集合B为函数y=x+

1

x+2

（x＞-2）的值域，集合C为不等式（ax-1）（x-2）≤0的解集，（1）求A∩B；（2）若C⊆C_RA，求a的取值范围．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用,交集及其运算

专题：计算题,集合

分析：（1）通过对数函数的定义域求出集合A，函数的值域求出集合B，然后求解A与B的交集．
（2）求出A的补集，利用C⊆∁_RA，通过a的范围，讨论不等式的解集，求出a的范围即可．

解答： 解：（1）∵-x²-2x+8＞0，
∴解得A=（-4，2）．
∵x＞-2，∴y=x+

1

x+2

=x+2+

1

x+2

-2≥0．
∴B=[0，+∞）；
∴A∩B=[0，2）；
（2）∵C_RA=（-∞，-4]∪[2，+∞），C⊆C_RA，
若a＜0，不等式（ax-1）（x-2）≤0的解集只能是（-∞，

1

a

]∪[2，+∞），故定有

1

a

≤-4得-

1

4

≤a＜0．
若a＞0，则不等式（ax-1）（x-2）≤0的解集只能是∅，否则不满足题意．
若a=0，不等式（ax-1）（x-2）≤0的解集只能是[2，+∞），满足题意，所以a=0成立．
∴a的范围为0≥a≥-

1

4

．

点评：本题主要考查了集合的交并补混合运算，较为简单，关键是将各集合的元素计算出来．考查分类讨论思想．