Question

lim

x→o

1+tanx - 1+sinx

xln(1+x)-x2

=

 

．

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：导数的综合应用

分析：多次利用“罗比达”法则即可得出．

解答： 解：∵

1+tanx

-

1+sinx

=

1+tanx-(1+sinx)

1+tanx + 1+sinx

=

tanx-sinx

1+tanx + 1+sinx

，
（tanx-sinx）′=sec²x-cosx，（xln（1+x）-x²）′=ln（1+x）+

x

1+x

-2x，
原式=

lim

x→0

tanx-sinx

xln(1+x)-x2

•

lim

x→0

1

1+tanx + 1+sinx

=

lim

x→0

sec2x-cosx

ln(1+x)+ x 1+x -2x

×

1

2

，
∵（sec²x-cosx）′=2sec²xtanx+sinx，(ln(1+x)+

x

1+x

-2x)′=

1

1+x

+

1

(1+x)2

-2，
∴原式=

1

2

lim

x→0

2sec2xtanx+sinx

1 1+x + 1 (1+x)2 -2

，
∵（2sec²xtanx+sinx）′=4sec²xtan²x+2sec⁴x+cosx，
(

1

1+x

+

1

(1+x)2

-2)′=-

1

(1+x)2

-

1

2(1+x)3

，
∴原式=

1

2

lim

x→0

4sec2xtan2x+2sec2x+cosx

- 1 (1+x)2 - 1 2(1+x)3

=

1

2

×

2+1

-1- 1 2

=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查了导数的运算法则、“罗比达”法则，考查了推理能力与计算能力，属于难题．