Question

设△ABC三条边的边长分别为a，b，c，对应的角分别为A，B，C
（1）设2b=a+c，且角B的取值集合为M，当x∈M时，求f（x）=sin（4x-

π

6

）的值域；
（2）设角B的平分线交边AC于D，且角B取（1）中的最大值（不含2b=a+c），

AD

=2

DC

，BD=4

3

，求其三边a，b，c的值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：综合题,平面向量及应用

分析：（1）利用余弦定理，结合基本不等式求出B的范围，再求f（x）=sin（4x-

π

6

）的值域；
（2）由题意B=

π

3

，由角平分线的性质可得c=2a，由余弦定理求出AD，DC，建立方程，求出a，c，利用余弦定理求出b即可．

解答： 解：（1）由题意，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

8

(

a

c

+

c

a

)-

1

4

≥

1

2

，
∴0＜B≤

π

3

，
x∈M时，-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1，
∴f（x）=sin（4x-

π

6

）的值域为[

1

2

，1]；
（2）由题意B=

π

3

，由角平分线的性质可得c=2a，则AD=

4a2+48-2×2a×4 3 × 3 2

，DC=

a2+48-2×a×4 3 × 3 2

∵

AD

=2

DC

，
∴

4a2+48-2×2a×4 3 × 3 2

=2

a2+48-2×a×4 3 × 3 2

∴a=6，
∴c=12，
∴b=

62+122-2×6×12× 1 2

=6

3

．

点评：本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．