Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*），且a₁=2，a₂=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*），求λ的值，使得对任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*），变形为S_n+1-S_n-（S_n-S_n-1）=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2^a_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹，要使得对任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立，只须b_n+1-b_n＞0恒成立．化为（-1）^n-1λ＜2^n-1．对n分为奇数偶数讨论即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*），∴S_n+1-S_n-（S_n-S_n-1）=1，
∴a_n+1-a_n=1，且a₂-a₁=1．
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．

（2）b_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2^a_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹，
要使得对任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立，只须b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-4ⁿ+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺²-（-1）^n-1•λ•2ⁿ⁺¹＞0恒成立．
化为（-1）^n-1λ＜2^n-1．（i）当n为奇数时，λ＜2^n-1恒成立，当且仅当n=1时，2^n-1有最小值1，∴λ＜1．
（ii）当n为偶数时，λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值1，∴λ＞-2．
综上可得：-2＜λ＜1，又λ为非0整数，则λ=-1．
因此存在非0整数λ=-1，使得对任意n∈N^*，b_n+1＞b_n恒成立．

点评：本题考查了递推式、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．