Question

(本小题满分12分)直三棱柱ABC -A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，点D在AB上．
（Ⅰ）求证：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中点，求证：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）当时，求二面角的余弦值．

Answer 1

18.（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为 AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC²+ BC²= AB²， 所以 AC⊥BC．                      
因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以C C₁⊥AC．                  
因为BC∩AC =C，所以 AC⊥平面B B₁C₁C．     
所以AC⊥B₁C．         …………4分
（Ⅱ）证明：连结BC₁，交B₁C于E，连接DE．
因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中点，所以侧面B B₁C₁C为矩形，DE为△ABC₁的中位线，
所以DE// AC₁．因为DE平面B₁CD， AC₁平面B₁CD，所以AC₁∥平面B₁CD．........8分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A₁(0, 4, 4)，B₁(3, 0, 4)．
设D (a, b, 0)（，），
因为点D在线段AB上，且，即．
所以，，，, ,．
平面BCD的法向量为．设平面B₁ CD的法向量为，
由，，得，
所以，，.所以 ．
所以二面角的余弦值为．……………12分

略