Question

已知函数(n∈N⁺)，且y=f(x)的图象经过点(1，n²)，数列{a_n}(n∈N₊)为等差数列.(1)求数列{ a_n}的通项公式；
(2)当n为奇函数时，设,是否存在自然数m和M，使不等式m<<M恒成立，若存在，求出M-m的最小值；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1) a_n=2n-1   (2) M-m的最小值为2.

(1)据题意：f(1)=n²  即 
令n="1" 则a₀+a₁=1，a₁=1-a₀  令n="2" 则a₀+a₁+a₂=2²，a₂=4-(a₀+a₁)=4-1=3
令n="3" 则a₀+a₁+a₂+a₃=3²，a₃=9-(a₀+a₁+a₂)="9-4=5" ∵{a_n}为等差数列
∴d=a₃-a₂="5-3=2     " a₁="3-2=1  " a₀="0   " a_n=1+(n-1)·2=2n-1
(2)由(1)
n为奇数时，



相减得：

令，.
∴C_n+1≤C_n，C_n随n增大而减小   又随n增大而减小
∴g()为n的增函数，当n=1时，g()=
而    
∴使m<g()<M恒成立的自然m的最大值为0，M最小值为2.  M-m的最小值为2.