Question

2．已知函数f（x）=e^x-e^-x+4sin³x+1，x∈（-1，1），若f（1-a）+f（1-a²）＞2成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-2，1）
• B． （0，1）
• C． $（{1，\sqrt{2}}）$
• D． （-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-1，则可得g（x）为奇函数，且g（x）在（-1，1）上为增函数，进而可得答案．

解答 解：令g（x）=f（x）-1=e^x-e^-x+4sin³x，
则g（-x）=-g（x），即g（x）为奇函数，
若f（1-a）+f（1-a²）＞2成立，
即g（1-a）+g（1-a²）＞0成立，
即g（1-a）＞-g（1-a²）=g（a²-1），
∵g′（x）=e^x+e^-x+12sin²xcosx≥0在x∈（-1，1）时恒成立，
故g（x）在（-1，1）上为增函数，
故-1＜a²-1＜1-a＜1，
解得：a∈（0，1），
故选：B．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．