Question

17．$k=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$是直线y=kx-1与曲线x²-y²=4仅有一个公共点的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分又不必要条件

Answer 1

分析 把直线y=kx-1方程代入曲线x²-y²=4，化为：（k²-1）x²-2kx+5=0，由△=0，解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{2}$．此时直线与双曲线有唯一公共点．当k=±1时，直线y=kx-1与曲线x²-y²=4仅有一个公共点．j即可判断出结论．

解答 解：把直线y=kx-1方程代入曲线x²-y²=4，化为：（k²-1）x²-2kx+5=0，由△=4k²-20（k²-1）=0，解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{2}$．此时直线与双曲线有唯一公共点．
当k=±1时，直线y=kx-1与曲线x²-y²=4仅有一个公共点．
∴$k=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$是直线y=kx-1与曲线x²-y²=4仅有一个公共点的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了直线与双曲线的交点与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．