Question

10．已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，圆C：（x-1）²+（y-1）²=25．
（1）求证：直线l过定点；
（2）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短．

Answer 1

分析 （1）把直线l的方程整理成m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，由于m的任意性，有$\left\{\begin{array}{l}2x+y-7=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$，解此方程组，得直线l过定点；
（2）当直线l与DC垂直时，被截得的弦最短，即可得出结论．

解答 （1）证明：把直线l的方程整理成m（2x+y-7）+（x+y-4）=0
由于m的任意性，有$\left\{\begin{array}{l}2x+y-7=0\\ x+y-4=0\end{array}\right.$，解此方程组，得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=-1\end{array}\right.$，
所以直线l恒过定点D（3，1）；
（2）解：当直线l与DC垂直时，被截得的弦最短，
此时，直线l与DC的斜率k_l•k_CD=-1，
由直线l的方程得${k_l}=-\frac{2m+1}{m+1}$，由点C、D的坐标得${k_{CD}}=\frac{2-1}{1-3}=-\frac{1}{2}$
∴$（{-\frac{2m+1}{m+1}}）•（{-\frac{1}{2}}）=-1$，解得$m=-\frac{3}{4}$，
所以，当$m=-\frac{3}{4}$时，直线l被圆C截得的弦最短．

点评 本题考查直线过定点的证明，考查直线与圆的位置关系，正确转化是关键．