Question

16．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求（x+$\frac{1}{x}$）²+（y+$\frac{1}{y}$）²的最小值．

Answer 1

分析 由基本不等式可得0＜xy≤$\frac{1}{4}$，进而可得（x+$\frac{1}{x}$）²+（y+$\frac{1}{y}$）²=≥2（xy+$\frac{1}{xy}$）+4，令xy=t，由“对勾函数”的单调性可得．

解答 解：x＞0，y＞0，且x+y=1，∴1=x+y≥2$\sqrt{xy}$，
∴0＜xy≤$\frac{1}{4}$，当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴（x+$\frac{1}{x}$）²+（y+$\frac{1}{y}$）²=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2+y²+$\frac{1}{{y}^{2}}$+2
=x²+y²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$+4≥2（xy+$\frac{1}{xy}$）+4，
令xy=t，则t∈（0，$\frac{1}{4}$]，
∵函数y=t+$\frac{1}{t}$在t∈（0，$\frac{1}{4}$]上单调递减，
∴当t=$\frac{1}{4}$时，y=t+$\frac{1}{t}$取最小值$\frac{17}{4}$，
∴xy+$\frac{1}{xy}$≥$\frac{17}{4}$，∴（x+$\frac{1}{x}$）²+（y+$\frac{1}{y}$）²≥2（xy+$\frac{1}{xy}$）+4≥$\frac{25}{2}$
∴（x+$\frac{1}{x}$）²+（y+$\frac{1}{y}$）²的最小值为$\frac{25}{2}$，当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时取等号

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及“对勾函数”的单调性，属中档题．