Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两焦点为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线l与椭圆相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且满足$|A{F_1}|+|A{F_2}|=4\sqrt{2}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设向量$\overrightarrow m=（\frac{x_1}{b}，\frac{y_1}{a}）$，$\overrightarrow n=（\frac{x_2}{b}，\frac{y_2}{a}）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，试证明△AOB的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意求得a，结合离心率和隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，结合$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$得到k与m的关系，由弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出O到直线的距离，代入三角形面积公式求出面积，再验证AB与x轴垂直时得答案．

解答 （1）解：由$2a=|A{F_1}|+|A{F_2}|=4\sqrt{2}$，得$a=2\sqrt{2}$，
又∵椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$a=\sqrt{2}c$，
∴c=2，则b²=a²-c²=8-4=4，
∴椭圆方程为$\frac{y^2}{8}+\frac{x^2}{4}=1$；
（2）证明：当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ 2{x^2}+{y^2}-8=0\end{array}\right.$，得（2+k²）x²+2kmx+m²-8=0，
由题意知：△=4k²m²-4（2+k²）（m²-8）＞0，即8（4k²-m²+8）＞0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-2km}{{2+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-8}}{{2+{k^2}}}$，
由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，得$\frac{x_1}{b}•\frac{x_2}{b}+\frac{y_1}{a}•\frac{y_2}{a}=0$，
∴$\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{8}=0$，${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$
=${k^2}•\frac{{{m^2}-8}}{{2+{k^2}}}+km•\frac{-2km}{{2+{k^2}}}+{m^2}=\frac{{2（{m^2}-4{k^2}）}}{{2+{k^2}}}$．
∴$\frac{{{m^2}-8}}{{2+{k^2}}}+\frac{{{m^2}-4{k^2}}}{{2+{k^2}}}=0$，整理得：2k²+4=m²，
$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{\sqrt{8（4{k^2}-{m^2}+8）}}}{{2+{k^2}}}$，
O到直线AB的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{{|m|\sqrt{2（4{k^2}-{m^2}+8）}}}{{2+{k^2}}}=\frac{{|m|\sqrt{2（2{m^2}-8-{m^2}+8）}}}{{\frac{m^2}{2}}}=2\sqrt{2}$；
当AB⊥x轴时：x₁=x₂，y₁=-y₂，则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x_1^2}{4}-\frac{y_1^2}{8}=0}\\{\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{8}=0}\end{array}}\right.$，由对称性设x₁＞0，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=\sqrt{2}}\\{{y_1}=±2}\end{array}}\right.$，
有$A（\sqrt{2}，2）$，$B（\sqrt{2}，-2）$，$d=\sqrt{2}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，
综上可知，△AOB的面积为定值$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．