Question

19．已知函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）若x∈[1，8]，求函数h（x）=（f（x）+1）g（x）的值域；
（2）求函数M（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），}&{f（x）≥g（x）}\\{f（x），}&{f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$的最大值；
（3）若不等式f（x²）f（$\sqrt{x}$）≥kg（x）对任意x∈[1，8]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简h（x）=（4-2log₂x）log₂x，令t=log₂x，从而可得y=（4-2t）t=-2（t-1）²+2，从而求值域；
（2）先求函数f（x）与g（x）的定义域，化简f（x）-g（x）=3（1-log₂x），从而可得M（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x∈（0，2]}\\{3-2lo{g}_{2}x，x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$；从而求最大值；
（3）化简f（x²）f（$\sqrt{x}$）≥kg（x）得（3-4log₂x）（3-log₂x）≥klog₂x，令t=log₂x，从而可得（3-4t）（3-t）≥kt，化恒成立问题为最值问题即可．

解答 解：（1）h（x）=（f（x）+1）g（x）=（4-2log₂x）log₂x，
令t=log₂x，
∵x∈[1，8]，∴t∈[0，3]，
y=（4-2t）t=-2（t-1）²+2，
所以h（x）的值域为[-6，2]．
（2）函数f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x的定义域都是（0，+∞），
f（x）-g（x）=3（1-log₂x），
故M（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x∈（0，2]}\\{3-2lo{g}_{2}x，x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$；
当x∈（0，2]时，M（x）的最大值是1，当x∈（2，+∞）时，M（x）＜1，
所以M（x）最大值是1．
（3）由f（x²）f（$\sqrt{x}$）≥kg（x）得：（3-4log₂x）（3-log₂x）≥klog₂x，
令t=log₂x，∵x∈[1，8]，∴t∈[0，3]，
∴（3-4t）（3-t）≥kt，
①当t=0时，
9≥0恒成立，故k∈R；
②当t∈（0，3]时，k≤$\frac{（3-4t）（3-t）}{t}$=4t+$\frac{9}{t}$-15恒成立，
4t+$\frac{9}{t}$≥12，
（当且仅当4t=$\frac{9}{t}$，即t=$\frac{3}{2}$时，取“=”），
所以（4t+$\frac{9}{t}$-15）_min=-3，所以k≤-3，
综上所述，k≤-3．

点评 本题考查了对数函数与二次函数的应用，同时考查了分类讨论的思想及恒成立问题化为最值问题的方法，还考查了基本不等式的应用，属于难题．