Question

11．已知x，y∈R，定义运算?：x?y=x（l-y）．设函数f（x）=（x-a）?（x+a），a为实数．
（1）若f（x）＜1对一切实数x都成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）由新定义可得x²-x-a²+a+1＞0对一切实x都成立，运用判别式小于0，即可得到a的范围；
（2）由f（x）＞0得，（x-a）（x+a-1）＜0，讨论a与1-a的大小，由二次不等式的解法，即可得到解集．

解答 解：（1）由已知得，f（x）=（x-a）（1-x-a）=-x²+x+a²-a
因为f（x）＜1对一切实x都成立，
即x²-x-a²+a+1＞0对一切实x都成立，
所以△=（-1）²-4（-a²+a+1）＜0，
解之得，$-\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$．
（2）由f（x）＞0得，（x-a）（1-x-a）＞0，即（x-a）（x+a-1）＜0，
当a＞$\frac{1}{2}$时，a＞1-a，所求不等式解集为（1-a，a）；
当a=$\frac{1}{2}$时，a=1-a，所求不等式解集为∅；
当a＜$\frac{1}{2}$时，a＜1-a，所求不等式解集为（a，1-a）．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查二次不等式的恒成立问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．