Question

2．在△ABC中，已知tanA，tanB是x的方程x²+p（x+1）+1=0的两个根．
（Ⅰ）求A+B；
（Ⅱ）若α∈[0，π]，且满足sin（α-$\frac{π}{6}$）=sinC，求α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用韦达定理可知tanA+tanB和tanA，tanB的值，可得得tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$ 的值，从而求得A+B的值．
（Ⅱ）由三角形内角和求得C=$\frac{3π}{4}$，由α∈[0，π]，可得 α-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，再根据sin（α-$\frac{π}{6}$）=sinC求得sin（α-$\frac{π}{6}$）的值，可得α的值．

解答 解：（Ⅰ）方程x²+p（x+1）+1=0，即 x²+px+p+1=0．
由条件可知tanA+tanB=-p，tanAtanB=p+1．
所以tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{-p}{1-（p+1）}$=1，∴A+B=$\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）在△ABC中，由 A+B=$\frac{π}{4}$，可得C=$\frac{3π}{4}$．
因为α∈[0，π]，所以，α-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故由sin（α-$\frac{π}{6}$）=sinC，
可得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴α-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{4}$，或α-$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{4}$，
∴α=$\frac{5π}{12}$ 或α=$\frac{11π}{12}$．

点评 本题主要考查韦达定理、两角和的正切公式、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．