Question

20．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，E为PC的中点，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AD=2，AB=2$\sqrt{3}$，BC=4．
（1）求证：DE∥平面PAB；
（2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中点F，连接DF，EF，证明：平面DEF∥平面PAB，即可证明DE∥平面PAB；
（2）建立坐标系，利用向量的方法求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：取BC中点F，连接DF，EF．
因为四边形ABCD是直角梯形，∴DF∥AB
又∵FE∥PB，∴平面DEF∥平面PAB，
∵DE?平面DEF，
∴DE∥平面PAB；
（2）解：建立如图空间直角坐标系，
则$A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），C（2\sqrt{3}，4，0），E（\sqrt{3}，2，1）$
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，2，1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
$\overrightarrow{DC}$=（2$\sqrt{3}$，2，0），
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面PCD的一个法向量．
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DC}=0\end{array}\right.⇒\overrightarrow n=（1，-\sqrt{3}，-\sqrt{3}）$，
∴sinθ=|$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{8}•\sqrt{7}}$|=$\frac{\sqrt{42}}{14}$．

点评 本题考查了直线与平面平行的判定，考查了求线面角的方法，考查向量方法的运用，属中档题．