Question

（本题满分14分）在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）解法一：， ，
．由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，
那么．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
解法二：由，，可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
（Ⅱ）解：设，　　　①
　　　　　　　　  ②
当时，①式减去②式，
得，
．
这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
．　　　　③
由知，要使③式成立，只要，
因为

．
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．

略