Question

11．已知函数y=f（x）为R上可导函数，且对?x∈R都有f（x）=-x³f′（1）-8x成立，则函数y=f（x），x∈[-1，1]的值域为[-6，6]．

Answer 1

分析 设t=2x则x=$\frac{1}{2}$t，代入f（2x）=x³f′（1）-10x化简，把t换成x求出f（x）的解析式，由求导公式求出f′（x），令x=1代入列出方程求出f′（1），代入f′（x）并判断符号，从而得到函数f（x）在[-1，1]上的单调性，求出函数的最值，即可求出函数的值域．

解答 解：设t=2x，则x=$\frac{1}{2}$t，代入f（2x）=x³f′（1）-10x得，
y=$\frac{1}{8}$t³f′（1）-5t，则f（x）=$\frac{1}{8}$t³f′（1）-5x，
所以f′（x）=$\frac{3}{8}$x²f′（1）-5，
令x=1代入上式可得，f′（1）=f′（1）-5，解得f′（1）=-8，
所以f（x）=-x³-5x，则f′（x）=-3x²-5＜0，
则函数f（x）在[-1，1]上是减函数，
当x=-1时，函数f（x）取到最大值f（-1）=6，
当x=1时，函数f（x）取到最小值f（1）=-6，
所以所求的函数值域是[-6，6]．

点评 本题考查求导公式，导数与函数的单调性的关系，以及换元法求函数的解析式，属于中档题．