Question

8．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意的实数x都有f（x）≥0，则$\frac{f（1）}{{{f^'}（0）}}$的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{3}{2}，+∞）$
• B． [2，+∞）
• C． $[\frac{5}{2}，+∞）$
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 先根据题目的条件建立关于a、b、c的关系式，再结合基本不等式求出最小即可，注意等号成立的条件．

解答 解：f′（x）=2ax+b，
∴f′（0）=b＞0，
∵对于任意的实数x都有f（x）≥0，
∴a≥0，且b²-4ac≤0，
∴b²≤4ac，
∴c＞0
∴$\frac{f（1）}{f'（0）}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+c}{b}+1≥\frac{{2\sqrt{ac}}}{b}+1≥2$，
故选：B．

点评 本题主要考查了导数的运算，以及函数的最值及其几何意义和不等式的应用，属于基础题．