Question

8．已知函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}（n∈{N_+}）$，数列{a_n}的前n项和为s_n，则s₂₀₁₅为（　　）

• A． $\sqrt{2014}$-1
• B． $\sqrt{2015}$-1
• C． $\sqrt{2016}$-1
• D． $\sqrt{2016}$+1

Answer 1

分析 首先根据函数的图象经过已知点，求出函数的解析式，进一步利用函数的解析式求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．

解答 解：函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），
则：4^a=2，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{x}$，
∴a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
则：S_n=a₁+a₂+…+a_n=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1，
∴s₂₀₁₅=$\sqrt{2016}$-1，
故选：C．

点评 本题考查的知识要点：函数解析式的求法，利用裂项相消法求数列的和．属于基础题型．