Question

在平面直角坐标系内，直线l的方程为ax+by+c=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为不同的点，且点B不在直线l上，实数λ满足ax₁+by₁+c+λ（ax₂+by₂+c）=0．给出下列四个命题：
①不存在λ，使点A在直线l上；
②存在λ，使直线l经过线段AB的中点；
③若λ=-1，则过A，B两点的直线与直线l平行；
④若λ＞0，则点A，B在直线l的异侧．
其中，所以真命题的序号是（　　）

• A、①②④
• B、②③
• C、①②③
• D、②③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：在①中，当λ=0时，点A在直线l上；在②中，存在λ，使直线l经过线段AB的中点；在③中，λ=-1时，k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

a

b

=k_l；在④中，λ＞0时，点A，B一定在直线l的两侧．

解答： 解：在①中，当λ=0时，点A在直线l上，故①错误；
在②中，当λ=1时，推导出a•(

x1+x2

2

)+b(

y1+y2

2

)+c=0，
∴存在λ，使直线l经过线段AB的中点，故②正确；
在③中，λ=-1时，推导出a（x₁-x₂）+b（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

a

b

=k_l，
∴过A，B两点的直线与直线l平行，故③正确；
在④中，λ＞0时，点A，B一定在直线l的两侧，故④正确．
故选：D．

点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程的合理运用．