Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n 对一切整数n都成立．
（1）求a₁，a₂的值
（2）若a₁＞0，设数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足b_n=lg$\frac{10{a}_{1}}{{a}_{n}}$，证明{b_n}是等差数列；
（3）当n为何值时，T_n 最大？并求出T_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）a₂a_n=S₂+S_n 对一切整数n都成立．分别取n=1，2，联立解出即可得出．
（2）由a₁＞0，取a₁=$\sqrt{2}$+1，a₂=2+$\sqrt{2}$．可得$（2+\sqrt{2}）$a_n=（3+2$\sqrt{2}$）+S_n，利用递推关系可得：a_n=$\sqrt{2}$a_n-1．利用等比数列的通项公式可得${a}_{n}={a}_{1}×（\sqrt{2}）^{n-1}$．代入b_n=lg$\frac{10{a}_{1}}{{a}_{n}}$，化简即可证明．
（3）b_n=1-（n-1）×$lg\sqrt{2}$，公差-$\frac{1}{2}$lg2＜0．可得b₇＞0，b₈＜0．利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）a₂a_n=S₂+S_n 对一切整数n都成立．
∴a₂a₁=a₁+a₂+a₁，a₂（a₁+a₂）=2（a₁+a₂），联立解得a₁=$\sqrt{2}$+1，a₂=2+$\sqrt{2}$．
或a₁=1-$\sqrt{2}$，a₂=2-$\sqrt{2}$．
（2）证明：∵a₁＞0，取a₁=$\sqrt{2}$+1，a₂=2+$\sqrt{2}$．
∴$（2+\sqrt{2}）$a_n=（3+2$\sqrt{2}$）+S_n，
n≥2时，$（2+\sqrt{2}）{a}_{n-1}$=（3+2$\sqrt{2}$）+S_n-1，
∴$（2+\sqrt{2}）$a_n-$（2+\sqrt{2}）{a}_{n-1}$=a_n，
∴a_n=$\sqrt{2}$a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为$\sqrt{2}$．
∴${a}_{n}={a}_{1}×（\sqrt{2}）^{n-1}$．
∴b_n=lg$\frac{10{a}_{1}}{{a}_{n}}$=$1+lg（\sqrt{2}）^{n-1}$=1-（n-1）×$lg\sqrt{2}$，
∴{b_n}是等差数列，首项为1，公差为-$\frac{1}{2}$lg2．
（3）∵b_n=1-（n-1）×$lg\sqrt{2}$，公差-$\frac{1}{2}$lg2＜0．
∴b₇=1-3lg2=1-lg8＞0，b₈=1-$\frac{7}{2}$lg2=$\frac{2-lg{2}^{7}}{2}$＜0．
∴当n=7，T_n 最大，T_n的最大值为$\frac{7（1+1-lg8）}{2}$=7-$\frac{21}{2}$lg2．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．