Question

10．已知函数f（x）=x³-ax²+4的零点小于3个，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，1]
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，3]

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过a的符号，求解函数的极值，判断函数的零点个数．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax=3x（x-$\frac{2a}{3}$），
当a＜0时，f（x）在x=$\frac{2a}{3}$处取得极大值f（$\frac{2a}{3}$）=4-$\frac{4}{27}$a³＞0，
在x=0处取得极小值f（0）=4＞0，此时有一个零点，满足条件；
当a=0时显然满足条件，
当a＞0时，在x=0处取得极大值4，在x=$\frac{2a}{3}$处取得极小值4-$\frac{4}{27}$a³≥0，
解得a≤3，
故选：D．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的零点个数的关系，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．