Question

19．已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-f（x）=2x+9，g（x）是二次函数，且满足g（x）=0，g（x+1）=g（x）+x+1，则：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）的解析式；
（3）画出h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≥-2}\\{g（x），x＜-2}\end{array}\right.$的图象，并根据图象写出h（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）（2）分别利用待定系数法求函数的解析式即可；
（3）结合（1），（2）可得h（x）的解析式，画出图形，得到最小值．

解答 解：（1）因为f（x）是一次函数，
所以设f（x）=kx+b，k≠0，
∴f（x+1）=k（x+1）+b=kx+k+b，
3f（x+1）-f（x）=3（kx+k+b）-（kx+b）=2kx+3k+2b
因为对任意x，有3f（x+1）-f（x）=2x+9，
所以对任意x，有2kx+3k+2b=2x+9
因此必有$\left\{\begin{array}{l}2k=2\\ 3k+2b=9\end{array}\right.$，解之得：$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=3\end{array}\right.$
∴f（x）的解析式为：f（x）=x+3．
（2）∵g（x）是二次函数，
所以设g（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
$\begin{array}{l}∴g（{x+1}）=a{（{x+1}）^2}+b（{x+1}）+c\\=a{x^2}+（{2a+b}）x+a+b+c\end{array}$
$\begin{array}{l}g（x）+x+1=a{x^2}+bx+c+x+1\\=a{x^2}+（{b+1}）x+c+1\end{array}$
∵对任意x，有g（x+1）=g（x）+x+1，
∴对任意x，有ax²+（2a+b）x+a+b+c=ax²+（b+1）x+c+1
因此必有$\left\{\begin{array}{l}2a+b=b+1\\ a+b+c=c+1\end{array}\right.$，解之得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴$g（x）的解析式为：g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x$．
（3）结合（1），（2）可得$h（x）=\left\{\begin{array}{l}x+3，x≥-2\\ \frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x，x＜-2\end{array}\right.$，图象如图，h（x）的最小值为h（-2）=1．

点评 本题考查了利用待定系数法求函数解析式以及由函数图象得到函数的最值．属于常规题．