Question

已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（

π

2

，

3π

2

）．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求

2sinα

1+tanα

的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的化简求值

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由向量模的公式，以及同角三角函数的关系式，即可得到；
（2）由向量的数量积的坐标表示，以及同角三角函数的关系式，注意两边平方，和切化弦的思想方法，即可求值．

解答： 解：（1）∵A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（

π

2

，

3π

2

），
∴由|

AC

|=|

BC

|，得

(3-cosα)2+sin2α

=

cos2α+(3-sinα)2

，
即9-6cosα+cos²α+sin²α=cos²α+9-6sinα+sin²α，
则cosα=sinα，tanα=1
∴α=

5π

4

．
（2）∵

AC

•

BC

=-1，即（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=-1，
∴cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=-1，
∴sinα+cosα=

2

3

，α∈（

π

2

，π），
∴（sinα+cosα）²=

4

9

，即1+2sinαcosα=

4

9

，
即2sinαcosα=-

5

9

，
∴

2sinα

1+tanα

=

2sinαcosα

cosα+sinα

=

- 5 9

2 3

=-

5

6

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，及向量的模的公式，考查同角三角函数的关系式，以及切化弦的思想方法，属于中档题．