Question

在△ABC中，∠A，B，C所对的边分别为a，b，c，

m

=（cosA，1），

n

=（1，1-

3

sinA），且

m

⊥

n

．
（1）求∠A的大小；
（2）若b+c=

3

a，求∠B，∠C的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由题意利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，即可确定出A的度数；
（2）已知等式利用正弦定理化简，将sinA的值代入，并根据B+C=

2π

3

，求出B与C度数即可．

解答： 解：（1）∵

m

=（cosA，1），

n

=（1，1-

3

sinA），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，
∴cosA+1-

3

sinA=0，即

3

sinA-cosA=1，
整理得：2sin（A-

π

6

）=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∴A-

π

6

=

π

6

或A-

π

6

=

5π

6

，
解得：A=

π

3

或A=π（舍去），
则A=

π

3

；
（2）将b+c=

3

a，利用正弦定理化简得：sinB+sinC=

3

sinA=

3

2

，B+C=

2π

3

，即B=

2π

3

-C，
∴sin（

2π

3

-C）+sinC=

3

2

，即2sin

π

3

cos（

π

3

-C）=

3

2

，
∴cos（

π

3

-C）=

3

2

，
∵0＜C＜

2π

3

，
∴C-

π

3

=

π

6

或

π

3

-C=

π

6

，
解得：C=

π

2

或C=

π

6

，
当C=

π

2

时，B=

π

6

；当C=

π

6

时，B=

π

2

．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．