Question

过点P（0，2）的直线与椭圆

x2

2

+y²=1相交于A，B两点，且弦长|AB|=

14

3

，求该直线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：当直线斜率不存在时，直接求出AB的长，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立后利用弦长公式求得直线斜率，则答案可求．

解答： 解：当直线与x轴垂直时，直线方程为x=0，弦AB为椭圆的短轴，长度为2；
当直线与x轴不垂直时，设直线方程为y=kx+2，
联立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

-8k

2k2+1

，x1x2=

6

2k2+1

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

( -8k 2k2+1 )2-4× 6 2k2+1

=

14

3

．
解得：k2=

5

2

．
∴k=±

10

2

．
∴直线方程为：y=±

10

2

+2．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了弦长公式的运用，是中档题．