Question

【题目】已知定义在R上的函数f(x)，f′(x)是其导函数且满足f(x)+f′(x)>2，f(1)=2，则不等式exf(x)>4+2ex的解集为_____

Answer 1

【答案】(1，+∞)

【解析】

构造函数g(x)=exf(x)﹣2ex，可结合题设证明g'(x)=ex[f(x)+f'(x)﹣2]>0，即g(x)是R上的增函数，又f(1)=2，即g(x)>g(1)，即得解.

设g(x)=exf(x)﹣2ex，

则g'(x)=exf(x)+exf'(x)﹣2ex=ex[f(x)+f'(x)﹣2]，

∵f(x)+f'(x)>2，ex>0，

∴g'(x)=ex[f(x)+f'(x)﹣2]>0，

∴g(x)是R上的增函数，

又∵f(1)=2，

∴g(1)=ef(1)﹣2e=2e+4﹣2e=4，

∴不等式exf(x)>4+2ex等价于不等式exf(x)﹣2ex>4；

即g(x)>g(1)；

∴x>1，

∴不等式exf(x)>4+2ex的解集为(1，+∞)

故答案为：(1，+∞)