Question

【题目】设f（x）=aex+ +b（a＞0）．
（1）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（2）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））的切线方程为3x﹣2y=0，求a、b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设t=ex（t≥1），

则y=at+ +by′=a﹣ = ，

①a≥1时，y′＞0y=at+ +b在t≥1上递增，

得：t=1即x=0时，f（x）的最小值是a+ +b；

②0＜a＜1时，y=at+ +b≥2+b，

当且仅当at=1（t=ex= ，x=﹣lna）时，f（x）的最小值是b+2

（2）解：f（x）=aex+ +bf′（x）=aex﹣ ，

由题意得：

【解析】（1）设t=ex（t≥1），求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．