Question

（本小题8分）已知三棱锥A—BCD及其三视图如图所示．

（1）求三棱锥A—BCD的体积与点D到平面ABC的距离；
（2）求二面角 B-AC-D的正弦值．

Answer 1

(1) ；(2)二面角 B-AC-D的正弦值是。

考查线面平行、线线垂直的判定定理以及体积的求解．涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强，属于中档题
（1）利用三视图可知△ABC为直角三角形，∠DBC为直角，AD⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2，则DE的长为点D到面ABC的距离，以及三棱锥的体积可得。
（2）作DF⊥AC于点F,连结EF，
∵DE⊥面ABC   ∴DE⊥AC    ∴AC⊥面DEF   ∴AC⊥EF
∴∠DFE是二面角 B-AC-D的平面角从而解三角形可知。
(1)

由三视图可得△ABC为直角三角形，∠DBC为直角，AD⊥面DBC,DB=BC=1,AD=2…………….2分
作DE⊥AB于点E
∵AD⊥面DBC，∴AD⊥BC
∵∠DBC为直角  ∴BC⊥面ADB
∴BC⊥DE
∴DE⊥面ABC………3分
∴DE的长为点D到面ABC的距离
∵DB=1,AD=2      ∴DE=   ∴点D到平面ABC的距离为………4分
∵,∴………5分
(2) 作DF⊥AC于点F,连结EF，
∵DE⊥面ABC   ∴DE⊥AC    ∴AC⊥面DEF   ∴AC⊥EF
∴∠DFE是二面角 B-AC-D的平面角………7分
∵DB="BC=1" ∴DC=  ∴DF=
∴sin∠DFE=
∴二面角 B-AC-D的正弦值是………8分