Question

14．已知等差数列{a_n}中，a₃+a₅=10，{a_n}的前n项和为S_n，S₅=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}•{a_n}$，求数列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得d=0，a₁=5，进而得到通项公式；
（2）根据运用数列{b_n}的通项公式，利用错位相减法进行数列求和．

解答 解：（1）等差数列{a_n}中，a₃+a₅=2a₄=10，∴a₄=5．
∵{a_n}的前n项和为S_n，S₅=$\frac{5{（a}_{1}{+a}_{5}）}{2}$=5a₃=15，∴a₃=3，
∴公差d=a₄-a₃=2，∴a_n=a₃+（n-3）d=3+（n-3）•2=2n-3．
（2）∵${b_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}•{a_n}$=（2n-3）$•\frac{1}{{2}^{n}}$，数列{b_n}的前n和T_n．
∴T_n=$\frac{-1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$   ①，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{-1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n-5}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-3}{{2}^{n+1}}$  ②，
①-②可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{-1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-3}{{2}^{n+1}}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}[1{-（\frac{1}{2}）}^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-3}{{2}^{n+1}}$，
化简可得T_n=1-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$．

点评 本题主要考查等差数列的性质，等比数列的通项和求和公式的运用，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．