Question

【题目】如图，四边形与均为菱形，，且.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若为线段上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为；（3）.

【解析】分析：（1）由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得,根据线面垂直的判定定理可得平面；（2）先证明为等边三角形，可得，于是可以为坐标轴建立坐标系，利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设由直线与平面所成角的正弦值为，利用空间向量夹角余弦公式列方程求得，从而可得结果.

详解：（1）设与相交于点，连接，

∵四边形为菱形，∴，

且为中点，

∵，∴,

又，

∴平面.

（2）连接，∵四边形为菱形，且，

∴为等边三角形，

∵为中点，∴，又，

∴平面.∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，∵四边形为菱形， ，∴.

∵为等边三角形，∴.

∴，

∴，

设平面的法向量为，则

令，得

设平面的法向量为，则，

令，得

所以

又因为二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为

（3）设

所以

化简得

解得：

所以.