Question

16．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，A、B两点之间的距离为10，且f（2）=0，若将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则t的最小值为6．

Answer 1

分析 根据三角函数的图象，求出ω 和φ的值，结合三角函数的平移关系结合三角函数关于y轴对称进行求解即可．

解答 解：∵A、B两点之间的距离为10，
∴|AB|²=|BC|²+|AC|²，
即100=（$\frac{T}{2}$）²+36，即（$\frac{T}{2}$）²=64，
则$\frac{T}{2}$=8，
则T=16，即$\frac{2π}{ω}$=16，
即ω=$\frac{π}{8}$，
即f（x）=3sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
∵f（2）=0，
∴f（2）=3sin（$\frac{π}{8}$×2+φ）=3sin（$\frac{π}{4}$+φ）=0，
则$\frac{π}{4}$+φ=kπ，即φ=-$\frac{π}{4}$+kπ，
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴当k=0时，φ=-$\frac{π}{4}$，
即f（x）=3sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$），
若将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）个单位长度后，
得到y=3sin[$\frac{π}{8}$（x-t）+$\frac{π}{4}$]=3sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{8}$t），
若所得函数图象关于y轴对称，
则$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{8}$t=$\frac{π}{2}$+kπ，
即t=-2-8k，k∈Z，
∵t＜0，
∴当k=-1时，t=8-2=6，此时t最小，
故答案为：6．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．