Question

设函数f（x）=（x-1）²+n （x∈[-1，3]，n∈N^*）的最小值为a_n，最大值为b_n，记c_n=b_n²-a_nb_n，则{c_n}是（　　）

• A、常数数列
• B、公比不为1的等比数列
• C、公差不为0的等差数列
• D、非等差数列也非等比数列

Answer 1

考点：等差关系的确定,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：依题意，可得a_n=n，b_n=n+4，从而可得c_n=b_n²-a_nb_n=4n+16，易求c_n+1-c_n=4，从而可得答案．

解答： 解：∵f（x）=（x-1）²+n，x∈[-1，3]，
∴当x=1时，f（x）_min=a_n=n，
当x=-1或x=3时，f（x）_max=b_n=n+4；
∴c_n=b_n²-a_nb_n=（n+4）²-n（n+4）=4n+16，
∵c_n+1-c_n=4，
∴数列{c_n}是公差不为0的等差数列，
故选：C．

点评：本题考查等差关系的确定，求得a_n=n，b_n=n+4是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．