Question

13．设f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且满足xf′（x）-2f（x）＞0，若△ABC是锐角三角形，则（　　）

• A． f（sinA）•sin²B＞f（sinB）•sin²A
• B． f（sinA）•sin²B＜f（sinB）•sin²A
• C． f（cosA）•sin²B＞f（sinB）•cos²A
• D． f（cosA）•sin²B＜f（sinB）•cos²A

Answer 1

分析 根据题意，设h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，（x＞0），对h（x）求导分析可得函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由△ABC是锐角三角形，分析可得$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0，即有sinA＞cosB或cosA＜sinB，结合h（x）的单调性以及sinA＞cosB和cosA＜sinB分析答案．

解答 解：设h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，（x＞0）则其导数h′（x）=$\frac{{x}^{2}f′（x）-2xf（x）}{{x}^{4}}$=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
又由f（x）满足xf′（x）-2f（x）＞0，
则有h′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
若△ABC是锐角三角形，则有A+B＞$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0，即有sinA＞cosB或cosA＜sinB，
对于sinA＞cosB，
h（sinA）=$\frac{f（sinA）}{si{n}^{2}A}$，h（cosB）=$\frac{f（cosB）}{co{s}^{2}B}$，
又由sinA＞cosB，则有$\frac{f（sinA）}{si{n}^{2}A}$＞$\frac{f（cosB）}{co{s}^{2}B}$，即f（sinA）•cos²B＞f（cosA）•sin²B，可以排除A、B，
对于cosA＜sinB，
h（cosA）=$\frac{f（cosA）}{co{s}^{2}A}$，h（sinB）=$\frac{f（sinB）}{si{n}^{2}B}$，
又由cosA＜sinB，则有$\frac{f（cosA）}{co{s}^{2}A}$＜$\frac{f（sinB）}{si{n}^{2}B}$，即f（cosA）•sin²B＜f（sinB）•cos²A，可得D正确，
故选：D．

点评 本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，关键是构造函数h（x）并分析其单调性．