Question

6．设锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a=2，B=2A，则b的取值范围为（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由题意可得0＜2A＜$\frac{π}{2}$，且$\frac{π}{2}$＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得$\frac{b}{a}$=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．

解答 解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，
∴0＜2A＜$\frac{π}{2}$，且B+A=3A，
∴$\frac{π}{2}$＜3A＜π．
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosA＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a=2，B=2A，
∴由正弦定理可得：$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$b=$\frac{sin2A}{sinA}$=2cosA，即b=4cosA，
∴2$\sqrt{2}$＜4cosA＜2$\sqrt{3}$，
则b的取值范围为：（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）．
故答案为：（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）．

点评 此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围，属于基本知识的考查．